Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī : l’algèbre au service des prédictions astrales

Dans son ouvrage « De eodem et diverso » (sur le même et le différent), Abélard de Bath (v.1080-v.1152) considérait que le but ultime de l’astronomie était de permettre « non seulement de déclarer l’état actuel des choses terrestres, mais aussi leur état passé ou futur » (p. 69) [2]. Et pour atteindre cet objectif, il traduisit deux textes arabes sur l’astrologie : L’abrégé de « l’introduction à l’astrologie » d’Abu Ma‘shar et les « Cent aphorismes » attribués à Ptolémée, tout en comparant apparemment les doctrines de l’astrologie arabe à celles du manuel latin « Mathemasis » de l’astrologue Firmicus Maternus (314-360).

Pour atteindre cet objectif, il fallait - Abélard l’avait appris de ses traductions des ouvrages des savants arabes - acquérir les connaissances et les savoirs de la science des étoiles à commencer par celles de la position des planètes et des étoiles données par les tables astronomiques. La référence pour ce faire se trouvait dans les zīj ou « tables astronomiques » dont les plus novatrices entrelaçaient des algorithmes issus des sources sanskrites et des modèles géométriques ptolémaïques. Ces tables, héritées de l’époque sassanide (Shahriyārān Zīj), étaient celles-là même qui avaient été portées à la cour du sultan abbasside al-Maʿmūn par le savant persan Muḥammad ibn Mūsā al-Khārizmī (v.780-v.850). Abélard de Bath a ainsi été le lien nécessaire pour préserver le contenu des Zīj as-Sindhind [3] dédiés à al-Maʿmūn qui ne nous est parvenu que par sa traduction latine. Comme les Zīj classiques, les tables d’al-Khwārizmī contenaient chronologie, trigonométrie, astronomie sphérique, mouvements moyens du Soleil, de la Lune et des planètes, équations solaires, lunaires et planétaires, latitudes lunaires et planétaires, stations planétaires, parallaxe, éclipses solaires et lunaires, visibilité lunaire et planétaire, géographie mathématique (listes de villes avec leurs coordonnées géographiques), détermination de la direction de La Mecque, uranométrie (tableaux des étoiles fixes avec coordonnées) et astrologie mathématique.

Les connaissances d’al-Khwārizmī seront le moteur de nombreux savoirs dont la plupart sont encore en usage. Avant d’aborder l’hypothèse de l’utilisation de modèles algébriques dans les calculs astronomiques, replaçons le personnage dans son contexte politique, culturel et savant.

Al-Khwārizmī arrive à Bagdad après sa construction entre 758 et 765 par le deuxième calife abbasside al-Mansour (r.754-775). A l’apogée de son règne, le septième calife, al-Maʿmūn (r.813-833), compte à sa cour des savants et artisans des quatre coins de l’empire - de l’Espagne jusqu’en Chine - qui se retrouvent à Bagdad pour transmettre, comparer et traduire les techniques, savoir-faires et connaissances sassanides, syriaques, grecques, sanskrites, chinoises, latines, turques, (etc) dans la très connue (mais assez peu documentée) « Bayt al-Hikma » ou « maison de la sagesse ». En tant que savant astronome, Khwārizmī devrait avoir travaillé dans le nouvel Observatoire « Shammāsiyya » construit en 825 à Bagdad ou dans celui du Mont Qāsīyūn construit près de Damas, tous deux édifiés sur l’ordre d’al-Maʿmūn. Il devait peut-être aussi faire partie du groupe de savants participant au projet d’observation parrainé par le calife et dont le but était de vérifier les paramètres de l’Almageste de Ptolémée afin de les consigner dans les Zīj al-Mumtaḥan compilés par Yaḥyā ibn Abī Manṣūr (m.830). La contribution d’al-Khwārizmī à l’histoire des sciences en général et à l’histoire des sciences astronomiques en particulier est si grande qu’on lui attribue quelque 20 traités parmi lesquels un traité sur les cadrans solaires et deux traités sur les astrolabes.

La contrée de provenance de ce savant, le Khwarezm (actuel Ouzbékistan), a donné en traduction latine le nom « algorithme » et « algèbre » vient du nom al-jabr (« restauration » soit la transposition des termes de l’équation) et de l’œuvre de Khwārizmī « Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah » (Compendium sur le calcul par restauration et mise en correspondance) visant à fournir une méthode exhaustive de la résolution des racines positives des équations polynomiales. En s’inspirant de différents modèles sans en donner l’origine ni la parenté (indienne, chinoise ?), il part d’exposés de termes primitifs « dont les combinaisons doivent donner tous les prototypes possibles d’équations, qui constituent désormais explicitement le véritable objet d’étude » [4]. Les nombres rationnels et irrationnels, les grandeurs géométriques, les aires ou les volumes sont également calculables.

En empruntant le système décimal positionnel des figures de l’écriture indienne (1-9), al-Khwārizmī transmet les bases des chiffres indo-arabes [5] par le biais d’un traité écrit vers 820 dont seule la traduction latine du 12ème siècle, le « Liber Algorismi de numero Indorum », nous est parvenue. La traduction arabe du sanskrit s´ūnya (vide) a donné « sifr » en arabe et persan, « cifra » en espagnol, « chiffre » en français, « zephirum » en latin médiéval, « ziffer » en Allemand [6]. Relayé principalement par Leonardo Fibonacci de Pise (1180-1240) dans son « Liber Abaci » (livres des computations) de 1202 et 1228, ce système s’imposera sur l’ensemble des continents.

Les tables d’al-Khwārizmī ont fait des émules et des critiques et ont voyagé de Bagdad via Aḥmad ibn Kathīr al-Farghānī (9ème siècle) ou Abdallāh ibn Masrūr al-Ḥāsib al-Naṣrānī (9ème /10ème siècles) vers l’Europe ou l’Asie. A Ghazna, le célèbre astronome Abū Rayḥān al-Bīrūnī (973-1050) a consacré trois traités au Zīj de al-Khwārizmī. Dans l’un d’eux, il défendit Khwārizmī contre les attaques d’Aḥmad ibn al-Ḥusayn al-Ahwāzī (10ème siècle) et jusqu’au 19ème siècle, des tables liées à ses Zīj ont été recopiées en Égypte [7]. Le manuscript Gaster Arabic 345 issu de la Geniza du Caire et aujourd’hui résidant de la John Rylands Library contient deux horoscopes, calculés selon les techniques utilisées par al-Khwārizmī et une computation des possibilités d’éclipse lunaire [8].

Le traité de al-Khwārizmī sur le calendrier juif donne des règles pour déterminer la longitude moyenne du Soleil et de la Lune sur la base de ce calendrier et pour déterminer quel jour de la semaine musulmane tombera le premier jour de la nouvelle année. Il traite également du cycle intercalaire métonique de 19 ans et de la distance temporelle entre le début de l’ère juive, c’est-à-dire la création d’Adam, et le début de l’ère séleucide [9].

Muḥammad al-Khwārizmī participe également à l’évolution des connaissances géographiques condensées dans le « Kitāb ṣūra al-arḍ » (livre de l’image de la terre) qui serait le fruit d’une expédition à laquelle il aurait participé.

En tant qu’astronome de son temps, al-Khwārizmī est aussi un astrologue et on peut admettre que c’est en mathématicien qu’il va analyser le résultat des observations et calculs afin de donner aux califes les prédictions nécessaires aux choix des développements politiques, culturels et diplomatiques exprimés dans le langage des étoiles. Alors que les sources ne nous permettent pas de trancher formellement cette question, nous postulons que l’algèbre, l’astronomie et l’astrologie ont été intimement liés par al-Khwārizmī et d’autres mathématiciens astronomes.

Pour construire ses Zīj, al-Khwārizmī aurait utilisé des calculs algébriques pour interpoler ou prédire des positions. Les équations linéraires permettaient d’affiner et de corriger les observations astronomiques des positions des planètes en interpolant des données manquantes entre deux observations [10], en ajustant des modèles simplifiés (comme celui des saisons ou des années qui ne sont pas égales) ou en corrigeant les erreurs de mesure en comparant plusieurs observations (modèles linéaires) et en établissant une moyenne pondérée de celles-ci.

L’astronomie est redevable aux tables as-Sindhind augmentées des calculs algébriques permettant de dresser une carte du ciel en mettant en relation la vitesse de révolution d’une planète, sa position dans le ciel après, à ou avant une période particulière en fonction de la latitude du lieu et selon le concept d’équilibrage d’équation linéaire ou quadratique. Il modifie ainsi les tables astronomiques persanes et indiennes pour les ajuster aux observations de l’époque abbasside notamment pour corriger la durée de l’année solaire, affiner les prédictions des éclipses et conjonctions planétaires ou calculer la variation de la longitude solaire en fonction du temps écoulé depuis l’équinoxe.

Enfin, les prévisions astrologiques sont liées aux éphémérides célestes, soit une table journalière des positions des corps célestes mobiles, mais aussi aux éphémérides terrestres, à commencer par les heures de prières. Plus encore, les horoscopes, souvent négligés par les chercheurs, constituent une compilation d’informations historiques sur les événements marquants tels que le début d’une guerre, d’une épidémie de peste, les tremblements de terre ou la prise d’une citadelle, l’arrivée d’un diplomate à la cour et l’envoi d’un cadeau somptueux par navire sous un jour jugé adéquat.

En systématisant les techniques algorithmiques, al-Khwārizmī aurait jeté les bases d’une astronomie computationnelle, où l’algèbre servait autant à prédire les positions qu’à vérifier la cohérence des modèles. Son œuvre influença profondément al-Battānī (858-929), qui perfectionna les calculs trigonométriques, et les futurs zīj des astronomes orientaux dont nous discuterons dans de prochains articles.